備考2
\begin{equation}
\frac{\partial U_{xi}(z)}{\partial z} = -k_0 \sum_{p}\varepsilon_{i-p}S_{yp}+\left( \frac{k_{xi}^2}{k_0} \right) S_{yi}
\end{equation}
こちらの式の導出を考えていく。
\begin{equation}
E_{gr,y} = \sum_{i} S_{yi} (z) \exp(-jk_{xi}x)\\
H_{gr,x} = -j\left(\frac{ \epsilon_0}{\mu_0}\right)^{1/2} \sum_i U_{xi} (z) \exp(-jk_{xi}x)
\end{equation}
上記2式を
\begin{align}
\frac{\partial H_{gr,x}}{\partial z}
= -j\left(\frac{\epsilon_0}{\mu_0}\right)^{1/2}\left(-k_0 \varepsilon (x)E_{gr,y}-\frac{1}{k}\frac{\partial^2 E_{gr,y}}{\partial x^2}\right)
\end{align}
こちらに適用することを考える。
回折格子中の誘電率は以下のように与えられる。ここで\(h\)はフーリエ次数を表す。
\begin{equation}
\varepsilon (x) = \sum_h \varepsilon_h \exp \left( j \frac{2\pi h}{\Lambda} \right)
\end{equation}
この誘電率について調べた最も古い論文[1]では以下の様に前置きされたうえで提示された。
The relative permittivity for the \(n\)th slab grating is periodic, \(\epsilon (x,z_n) = \epsilon_n (x+\Lambda ,z_n)\), and may be expanded in a Fourier series as
これはフーリエ級数展開の形になっていることと、その回折格子の周期ごとの空間周波数を持つ波のみに注目している(~最小の許容される空間周波数は回折格子1周期分)ことがわかる。(自分としては最小空間周波数がもっと小さい場合が考えないのが許される理由がわからなかったが…)
ここでバイナリの回折格子を考えていて、回折格子の材質部分(凸部分)の屈折率\(n_{rd}\)と非材質部分(凹部分)の屈折率\(n_{gr}\)から
\begin{equation}
\begin{cases}
\varepsilon_h = (n_{rd}^2 – n_{gr}^2)\frac{\sin (\pi h f)}{\pi h} & \rm{if} h\neq 0, \\
\varepsilon_0 = n_{rd}^2 f+n_{gr}^2 (1-f) & \rm{if} h= 0,
\end{cases}
\end{equation}
ここで具体的に\(\varepsilon (x)\)を展開していく
\begin{align}
\varepsilon (x) E_{gr,y}
&= \sum_h \varepsilon_h \exp \left( j \frac{2\pi h}{\Lambda} \right) \sum_{p} S_{yp} (z) \exp(-jk_{xp}x)\\
&= \sum_p \sum_h \varepsilon_h S_{yp} (z) \exp(-j(k_{xp}-\frac{2\pi h}{\Lambda})x)\\
&= \sum_p \sum_h \varepsilon_h S_{yp} (z) \exp(-j(k_{xp}-\frac{2\pi h}{\Lambda})x)\\
&= \sum_p \sum_h \varepsilon_h S_{yp} (z) \exp(-jk_{xp+h}x)\\ & \uparrow k_{xp+h}=k_{xp}-\frac{2\pi h}{\Lambda}\\
&= \sum_p \sum_i \varepsilon_{i-p} S_{yp} (z) \exp(-jk_{xi}x)\\
&\uparrow i=p+h\\
&= \sum_i \exp(-jk_{xi}x) \sum_p \varepsilon_{i-p} S_{yp} (z)
\end{align}
よってこれを代入することで、今回の導出ができる。
[1]M. G. Moharam and T. K. Gaylord, “Diffraction analysis of dielectric surface-relief gratings,” J. Opt. Soc. Am. 72, 1385-1392 (1982)
備考3
個人的にこのあたりの行列が出てきたあたりでわからなくなったので補足しよう思う。
\begin{equation}
\mathbb{Q}^2 \mathbb{S}_y =\mathbb{A} \mathbb{S}_y
\end{equation}
まず、この式のお気持ちは左が求めたい数値で、右辺が既知の行列となっている。そこで\(\mathbb{A}\)を深堀していくと
\begin{align}
\mathbb{A} &= \mathbb{K}_x^2-\mathbb{E}\\
&= \left(
\begin{array}{c c c c c}
(k_{x(-n)}/k_0)^2 & 0 & … & 0 & 0 \\
0 & (k_{x(-n+1)}/k_0)^2 & … & 0 & 0 \\
& & … & &\\
0 & 0 & … & (k_{x(n-1)}/k_0)^2 & 0 \\
0 & 0 & … & 0 & (k_{x(n)}/k_0)^2
\end{array}
\right)\\
&- \left(
\begin{array}{c c c c c}
\varepsilon_{-n-n} & \varepsilon_{-n-(n-1)} & … & \varepsilon_{-n+(n-1)} & \varepsilon_{-n+n} \\
\varepsilon_{(-n+1)-n} & \varepsilon_{(-n+1)-(n-1)} & … & \varepsilon_{(-n+1)+(n-1)} & \varepsilon_{(-n+1)+n} \\
& & … & &\\
\varepsilon_{(n-1)-n} & \varepsilon_{(n-1)-(n-1)} & … & \varepsilon_{(n-1)+(n-1)} & \varepsilon_{(n-1)+n} \\
\varepsilon_{n-n} & \varepsilon_{n-(n-1)} & … & \varepsilon_{n+(n-1)} & \varepsilon_{n+n} \\
\end{array}
\right)
\end{align}
となる。こうやってみるとわりと意味が分かるようになり、\(\mathbb{K}_x^2, \mathbb{E}\)ともに実数のみで構成された行列であることがわかる。
このことからともにエルミネート行列であり、エルミート行列の和である\(\mathbb{A}\)の固有値が実数であることがわかる。
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